Insieme su cui sono definite:
Posso chiamare spazio vettoriale tutti gli insiemi con qeste caratteristiche.
Per esempio è uno spazio vettoriale quello così definito.
$$
(x, x) \forall x \in R
$$
E posso vedere che valgono tutte le proprietà identificate prima.
$$
\vec{a} = (1, 1) \\
\vec{b} = (2, 2) \\
\vec{a} + \vec{b} = (3, 3) \\
-\vec{a} = (-1, -1) \\
5\vec{a} = (5, 5) \\
$$
Ricordarsi che:
$$
\exists 0_v \\
\forall v \exists -v; v+(-v) = 0_v \\
a \in R, \vec{v} \in V \\
a\vec{v} = 0 \iff a = 0 \text{ oppure } \vec{v} = 0_v
$$
E' impossibile che il prodotto $a\vec{v} = 0$ in altri casi.
Altra regola comoda per trovare l'opposto:
$$
-(a\vec{v}) = (-a)\vec{v} = a(-\vec{v})
$$
Dato uno spazio $W$ lo spazio $V$ è un sottospazio vettoriale di $W$ se
$W \subset V$ e le oprazioni di somma e prodotto definite per $V$ valgono su $W$.
L'esempio precedente delle coppie $(x, x)$ è un sottoinsieme di $R^2$, e tutte le operazioni definite su $R^2$ valgono su questo insieme.
Un esempio di sottospazio vettoriale di $R^3$ è:
$$
W = (x, y, x+y) \forall x, y \in R \\
\vec{a} = (1, 2, 3) \\
\vec{b} = (2, 5, 7) \\
\vec{a} + \vec{b} = (3, 7, 10) \in W\\
5\vec{a} = (5, 10, 15) \in W\\
$$
Un esempio di non sottospazio vettoriale di $R^2$: $$ W = (x, x+1) \forall x \in R \\ \vec{a} = (3, 4) \\ \vec{b} = (5, 6) \\ \vec{a} + \vec{b} = (8, 10) \notin W \\ 2\vec{a} = (6, 8) \notin W $$
Una combinazione lineare è definita come:
$$
a_1\vec{v_1} + a_2\vec{v_2} + \dots + a_n\vec{v_n}
a_n \text{ coefficenti}
$$
Per esempio una combinazione lineare in R^2 è
$$
3(2, -2) + (-4)(0, 1) + 7(1, 7)
$$
Un'altro esempio, tornando alla dieta, cioè alla definizione dei cibi come terne; Un pasto è una combinazione lineare di cibi:
Mangio 40 grammi di pasta, 50 grammi di pane, 40 grammi di verdure.
$$
pasta = (10, 40, 50) \\
pane = (10, 80, 50) \\
verdure = (80, 20, 10) \\
pasto = \text{ c.l } 40pasta + 50pane + 40 verdure
$$
Esempi simili si possono fare tra le forze
$$
\vec{f} = (-0.5, -0.5) \\
\vec{g} = (0, 9.81) \\
\text{c.l. } = 3\vec{f} + 2\vec{g} \\
$$
Dati 3 vettori non nulli $$ \vec{a} = (1, 1, 1) \\ \vec{b} = (2, 2, 2) \\ \vec{c} = (4, 4, 4) \\ 2\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = (0, 0, 0)\\ $$ Se è possibile trovare dei coefficenti a loro volta non nulli che generano una combinazione lineare con risltato $0_v$ allora i vettori si dicono Linearmente Dipendenti $$ a_1\vec{v_1} + a_2\vec{v_2} + \dots a_n\vec{v_n} = 0 \\ \Downarrow \\ a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0 $$
Quindi dati i seguenti vettori $$ \vec{a} = (1, 0) \\ \vec{b} = (1, 1) \\ $$ Posso vedere che non è poossibile fare una combinazione lineare che dia $0_v$ con coefficenti diversi da zero. $$ a\vec{a} + b\vec{b} = (0, 0) \iff a = 0, b = 0 $$ Quindi questi due vettori si dicono Linearmente Indipendenti
$v_1, \dots, v_m$ sono l.i. se è solo se:
Quindi questa prova è un test ricorsivo per tutti i vettori.
I versori fondamentali di $R^3$ $$ \vec{e_1} = (1, 0, 0) \\ \vec{e_2} = (0, 1, 0) \\ \vec{e_3} = (0, 0, 1) \\ $$ Controllo che siano linearmente indipendenti:
Generalizzando il concetto di versori fondamentali su $R^n$
$$
\vec{e_1} = (1, 0, \dots, 0) \text{ Tutto 0 tranne il primo}\\
\vec{e_2} = (0, 1, \dots, 0) \text{ Tutti 0 tranne il secondo}\\
\dots \\
\vec{e_n} = (0, 0, \dots, 1) \text{ Tutti 0 tranne l'ennesimo}\\
$$
E' facile vedere come sono sempre linearmente indipendenti
Dato un vettore $v$ combinazione lineare di n vettori indipendenti $v_1, v_2, \dots, v_n$.
$$
v = a_1v_1 + a_2v_2 + \dots + a_nv_n
$$
La sequenza $a_n$ dei coefficenti è unica.
Questo vale solo se i vettori $v_x$ sono indipendenti.
Per esempio lavorando in $R^3$ e volendo scrivere un vettore come combinazione linerare dei versori fondamentali...
$$
(1, 2, 1) = a(1, 0, 0,) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) \\
a = 1 \\
b = 2 \\
c = 1 \\
$$
Questi coefficenti verranno chiamati componenti del vettore rispetto ai vettori lineramente indipendenti
In [ ]: